Introducción

Las ecuaciones son igualadas entre expresiones algebraicas que aparecen en la resolución de problemas de un tipo muy corriente, como son los de determinar el valor de una cantidad o una magnitud en el supuesto de que haya de cumplir unas determinadas condiciones.

Los árabes introdujeron el término de álgebra para referirse a toda una serie de métodos estandarizados que permitían resolver este tipo de cuestiones mediante procedimientos determinados por la forma del problema, con independencia del significado y el valor concretos de las cantidades y magnitudes que intervenían en ellos. Cuando más tarde se desarrolló un simbolismo algebraico, las ecuaciones se convirtieron en el instrumento indispensable para reducir problemas complicados a términos más simples.

Método Del Determinante (Matríz De Cramer)

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma

ax + by = e

cx + dy = f

También se puede resolver por medio de determinantes.

Se denomina determinantes a una ordenación de números reales en filas y columnas. Por ejemplo, los números reales A, B,C Y D pueden formar un determinante

a b

c d

Esta determinante tiene un valor que se calcula como se indica

= ad - cb.

Al sistema

ax + by = e

cx + dy = f

Se le asignan tres determinantes:

Una llamada determinate principal ( p), formado por los coeficientes de las variables x e y tomados en ese mismo orden, es decir:

p = = ad - cd

Otros dos, llamados determinantes de las variables (x, y) que se obtienen reemplazando la columna respectiva por las constantes del sistema, en ese mismo orden:

x =

y =

x = ed - bf

y = af - ce

El valor de las incógnitas se calcula por medio las expresiones:

x =x/ p

y= y/ p

x =

y= /

x = ed - bf/ ad - bc

y = af - ce/ ad -bc

Observamos que cada uno de estos cuocientes tiene sentido si p 0, o sea, (ad - bc 0

Método De Sustitución

Dado el sistema, en la ecuación número (1) se despeja una de las dos incógnitas, por ejemplo la x; luego se reemplaza dicho valor en la ecuacón número (2). Así se obtiene una ecuación lineal de una incógnita (que es y).

a) Se despeja la x en la ecuación (1)

b) Se reemplaza el valor de la x en la ecuación (2)

c) Se realizan las operaciones indicadas y luego se hace la transposición de términos despejando y:

Sustituyendo este valor de y en la expresión

resulta:

Así, las soluciones del sistema son :

El valor de la segunda incógnita también puede hallarse sustituyendo el valor de la primera en una de las ecuaciones.

Sustituyendo en (1) el valor de y= -2:

Naturalmente, obtendríamos el mismo valor de x sustituyendo el valor de y = -2 en (2) :

Método De Igualación

Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

Utilizamos el mismo sistema:

Se despeja x:

(1)

(2)

Como en las igualdades (a) y (b) los primeros miembros son iguales, los segundos miembros también deben serlo:

Al igualar los segundos miembros, se obtiene una ecuación con una sola incógnita.

Mediante transposición de términos de despeja el valos de y:

Se agrupan en un miembro los términos independientes y en otro los que tienen incógnita:

Ahora, sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en (1), tenemos:

El mismo resultado podría haberse obtenido despejando la incógnita y en las dos ecuaciones:

(1)

(2)

Comparando (a) y (b) se obtiene:

Aplicamos la propiedad distributiva en el segundo miembro:

O sea:

Método De Reducción

Este método consiste en eliminar una de las variables en ambas ecuaciones. Para ello se debe igualar el número y dejarlo con signo contrario, para posteriormente sumar ambas ecuaciones.

Luego de obtener el valor de "x", y para obtener el valor de "y" se remplaza en cualquiera y de las 2 ecuaciones originales, despejando "y" y obteniendo su valor.